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视频 介绍

函数的概念(4)分段函数(2)

本节课主要介绍了分段函数表示

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好,同学们好,我是周勇老师.

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在上节课我们研究了分段函数的基本概念,那么分段函数其实上就是我们在定义域内的函数定义域内的自变量,它在不同的范围之内有着不同的表达方式,那么我们就要分段来进行处理.

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那么今天我们继续来研究分段函数,那么我们知道分段函数它是一个函数,而且定义域值域它分别是我们每一段函数定义域和值域的并起,而且具体要求是我们各段函数定义域的交集是空集,但是止于我们并不要求他的交集是空集,我们这个要注意.

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另外我们的分段函数还可以用图像来进行表示,并且我们在研究分段函数的时候有一个中心思想,那就是分段函数,我们要分段来进行处理,最后该把它并在一起的时候并在一起.

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好,现在同学们来看,说已知函数FX等于1+2分之X的绝对值减X,但是我们给出X是大于2小于等于2的,我们现在用分段函数的形式来表示这样一个函数,同学们注意,这个函数是一个表达式,现在让我们用分段函数的形式来进行表示.

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那么同学们来看,我们在去表示的时候,同学们要注意一个问题,你要想表示成分段函数G在这个区间内不同的自变量,它对应的函数它的解析式不同,那么我们怎么办.

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同学们注意,X的X的绝对值,我们要想把它绝对值去掉,我们用到的方法就是令绝对值里边的X恒是非负的或者是横是非正,那么在这里边我们就可以根据这样一个原则,就将X大于2小于等于2,分成两段.

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在两段的过程当中,你注意X的绝对值分别取得不同的值,大于等于0的时候应该是S小于零的时候应该是负X,那么分别把它们化简就可以了,对吧.

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那么同学们注意它是这样一个结果,X大于等于0小于等于2的时候,FX1就应该是常函数一常数E在这里边,X大于2小于零的时候,FX1等于1加上一,整理是一减X.另外请同学们注意,你看着我的零放着,有的同学说放着行,如果放着你就别放在这.

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好,那么现在你就会发现我们FX当X大于等于0,小于等于2的时候是一当X大于2小于零的,时候是一减X那么我们就将这样一个函数通过分成段的形式,就将我们的函数表示成了一个分段函数的形式.

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好,这是我们研究的第一个问题,第二个问题,你会发现画出这个该函数的图像,同学们注意,X大于等于0小于等于2,函数值是一.

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那么画它的图像还是很容易的,而我们X大于2小于零的时候是一减X也是非常容易的,那么你就会发现我们在这里边把它画在图像上,应该是这样.

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那么在这一定要注意,当这个地方是2是不能取,这地方一定要是虚点,续点.

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另外你会发现一段两段,那么反过来同学们注意,如果我这个解析式不给你,我给这个图像,你是不是也可以找到它的解析式呢?

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咱们上节课已经研究过这个问题,希望同学们注意.

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好,那么通过这样一个图再写出该函数的值域,同学们注意这个就是非常容易的事情了,那么它的值域很显然,那么应该是,这注意是这一段.

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最下边是一最上面是三,但是注意三是不能取的,所以它的值域是一三区间,前B后开.

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注意,一定要准确.

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好,这是这样一个问题,那么对于这一个问题,同学们看到我们把一个具体的函数我们写成分段函数的时候,这个函数刚开始你不是很熟悉,但是分段函数你就注意每一段你都很熟悉,对吧.

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这其实上也就体现出来了分段函数的优点,我们分段去处理的时候,其实上就容易多了.

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好,那么下面我们来看下一个问题,设函数FXX小于等于0的时候是负XX大于零的时候是X方,你会发现我们不是求定义域和值域的问题,也不是图像,我们干什么呢,函数,值谁的函数值,阿尔法的函数值是四,则问你实数阿尔法它等于多少.

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我知道了,一个函数值,我反过来去找自变量,那么其实上说回来,这就是一方程,我解方程.

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但是同学们注意,我这个分段函数的方程怎么解呢.

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对,我们还是秉承了那句话,分段函数的问题分段处理.

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那么我们可以看到我的F阿尔法等于4,我看一下有没有,在X小于等于0这一种情况下的阿尔法,我再看一下有没有大于40的阿尔法,大于零时的阿尔法,那么你就注意了.

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你会发现我可以分两种情况去处理,第一种情况当X小于等于0的时候,G法老于等于0的时候,我们的F阿尔法就等于注意带到这里面去,就是负阿尔法法法等于多少,四.

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由此得到的阿尔法就等于4,注意4小于等于0,是成立的这个值就行.

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那么同样的道理,当阿尔法大于零的时候,我们的F阿尔法等于注意用这一个对应关系,我们是阿尔法的平方它就等于4.

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解出来,本来这个里边解出来的阿尔法应该是有两个正负2,但是我们的前提条件是阿尔法大于零,G得到的是阿尔法等于2,由此我们就有阿尔法等于4或者是阿尔法等于二两个,函数的自变量.

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G啊法可以取到的值应该是两个,记我们给出来的,答案应该是B.那么同学们注意,我们给了一个函数值,我们找到了两个自变量,不奇怪.

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因为什么,因为我们知道函数的解析式在不同的范围之内,它是不一样的.

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所以我们又分别在两种情况下去求它的办法,这一点需要同学们注意及我们分别在两段当中,去讨论我们的阿尔法的取值,这一点希望同学们注意.

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好,这是这样一个问题,那么我们还是分段的问题分段解决.

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好,我们看这样一个问题,已知FX等于X方减一,GX等于,注意在X大于零的时候是X减一,当X小于零的时候是二减X让我们求一下,注意看,这是F级二,合集F2的值.

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好,现在请同学们来看你这个函数值,两个函数值我们又该怎么求呢,还是前面研究的问题,我们先求这个的时候,我先去里边的,我先看G2等于多少,再看FG2是多少.

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好,那么我们就分别求出G2F2,然后再去看一下我外边的该怎么求.

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好,那么现在你来看,我们第一个先求出来G2.

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注意,X等于2的时候带到这里边来,所以是1F2注1F2带到这里边来,是三,那么然后再去求FG2,那么你看到了,这个是一,那就带回来,那就是零,即F2等于G3等于2.

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好,我们求出来了这样的函数的值,那么另外请同学们注意,我们这一个和这一个都是两个函数具体的复合的函数值,它是先F在Y级在内,即X在YFX在内.

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另外我问一下同学们,那么这里边有一个问题内外函数它的负荷的顺序不同,它虽然说都是二二次变量X,你会发现求出函数值是不一样.

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这其实要告诉我们一个问题,对于两个函数在一般情况下复合的顺序不同,它得到的函数的对应关系既符合函数的对应关系,其实上一般情况下是不一样的.

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但是这里不排除有相同的,那么在这种情况下,同学们就能够看到我们,这就是一个很好的例子.

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好,另外在这里边我还想问同学们,如果这一个式子我再给你一点,作为思考,你求一下吉吉,那么这一个又该怎么做,留给你今天作为一个思考题.

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好,那么今天我们处理的问题就是分段函数与图像,有关的与我们的分段函数的函数值有关,但是我们一定要注意处理这类问题,我们就要抓住最本质的问题,就是分段函数分段处理.

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好,同学们,今天我们主要研究的问题就是分段函数与图像和函数值有关的问题,那么这个问题我们今天就研究到此.

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好,下节课我们再见.<br />

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