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视频 介绍

函数的概念(4)分段函数(1)

本节课主要介绍了分段解析式

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同学们好,我是朱毅老师.

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在前几节课我们一起研究了函数的表示法,那么我们的函数表示法常用的方法有解析式法图表法以及图像的方式.

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那么我们在日常生活当中还能遇到一类常用的函数,那么我们将它来表示分段函数,那么在这里面什么是分段函数呢.

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我们将在函数定义域内对于自变量X的不同取值范围有着不同的对应关系的函数,我们称之为叫分段函数.

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注意是在定义域内对于自变量X的不同取值范围,它有着不同的对应关系,那么这里边要明确分段函数.

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首先它是一个函数,是一个函数,而且我们还能够知道含一个函数,它有一个定义域,有一个值域,那么我们对于定义域和值域分别是什么,那么分段函数的定义域和值域分别是这个函数的每一段函数的自变量的取值,它的并集定义域.

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那么是每一段的自变量的取值并集,而值域也是每一段函数值的,取值的并集,一定要注意每一段都是取值的病情,而且还要求我们定义域的交集是空集,注意是交集是谁的交接,定义域的交集,每一段的交集是空集,但是我想说明的是定义域的交集是空集值域的空基,同学们想一想.

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好,另外我们的分段函数的图像应该分别作出每一段的函数图像.

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好,现在我们来看这样一个问题,已知函数FX的图像,如下图,责问你,FX的解析是什么.

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那么我们从图上能够很清晰地看到,我们自变量X的取值是1到一1和一都是可取的.

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但是同学们注意,在1和零之间,它的函数图像就是这么一小段儿,我们呢在X在0到1又是这样一小段,那么我们就可以知道我们的函数图像是一个分段的.

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因为在每一段里边它的取值是对应关系是不一样的,那么我们如何求每一段的函数的表达式,那么你能够知道这一个图像它经过的是一零这个是经过零一,注意这个地方没有取,而在这边取的是零零一1,则我们就可以分别求出来两段的函数,解析式及X大于等于1的时候小于零,此时我们满足的应该是X加一,而X大于等于0.

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小于等于1的时候应该是负X,这样我们就根据函数的图像求出来了这样的函数解析式.

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那么在这里面同学们注意,我们的图像当中,我们的分段函数这里边是分成两段,每一段都有明确的我们的定义域值域以及函数的表达式及解析式,那么我们要将它放在一起.

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同学们注意每一段放在一起的时候,用大括号把它连接在一起.

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另外还注意,同学们看到我的这地方是X小于零,这是大于等于0,取的时候不能两个都去,做的时候注意.好,这是我们对于这样一个图像找解析式的一种分析,那么对于这样的问题,我们还可以从解析式出发,看能够给我们一些什么问题.

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好,同学们来看,已知函数FX注意这里面分成三段,当X小于等于1的时候是X加二,当X大于1小于二的时候是X的平方,X大于零二的时候是二,X让我们去求的是FF跟三,它的函数的值.

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同学们注意,在这里边牵扯到了F跟三作为一个自变量,那么我们如何求这样的函数值呢,那么我们很明确,我们应该是从内部来出发,先求一下跟三所对应的函数值,同学们去看到,跟三他应该在哪一段里边,应该找到它的解析式是谁呢,同学们会发现跟三应该是大于1小于二这样一个范围,它满足的又应该是X的平方这样一个解析式,那么我们就可以先求出来我们的再跟三处对应的函数值,那就是三.

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那么此时同学们注意,三由于是大于二的,所以我们下边再一次进行求三对应力函数值的时候,就取得的是下面一个解析式,那么我们这样一求FF跟三六.

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那么同学们注意,在这个里边,我们是求了一个复合的函数的值,那么我们就要通过由内到外一层一层的去求在不同的层里边,他有可能采取的用的解析是有所不同,这里边希望同学们注意.

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好,那么现在请同学们注意,我想问同学们一个问题,那么这一个函数你求出来了,它的再跟三处的函数姐那直的在作为自变量的值.

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我问你,整个函数的定义域是什么.

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对,是1到多少.

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这应该是这是1,这是小于等于1,所有小于等于1的都可取.

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这个是1到2的,这个是大于等于2的三个定义预定在一起,一切实数.

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好,那么我们分别三段的对应关系,你自己能叙述吗?

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不同的,完全是可以的.

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好,另外我问一下同学们,你能不能求出三段当中的分别的函数的值的取值范围,留给同学们自己去思考.

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好,这是我们给出来的这样一个问题.

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好,那么至于刚才我们是给出来了函数图像,可以找到我们的函数解析式,而且我们进一步可以求出来在一定范围内的函数的函数值.

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那么下面我们来看这样一个问题,说已知FX在X大于等于1小于等于1的时候是X的平方X大于一,或者是小于1的时候是一对应的函数值是一,那么如果让你画出它的图像,那么你会吗,进一步我们能不能求出FX的定义域和值域.

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好,现在同学们注意,我们可以看到当X大于等于1小于等于1的时候是X的平方,同学们知道X的平方你是完全可以做出来的,而且是非常的熟悉二次函数而且是一个非常好的二参数,那么在这里边我们当X大于一或者小于1的时候是常函数一,那么你也是很容易做出来的,对吧.

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好,现在我们这个函数其实上你注意1到1我们用的是二次函数,而在两端它是叫常函数.

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好,两个放在一起就是我们的函数的图像,那么由这个函数图像,同学们注意看一下定义域.

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那么很显然我们的我们的两端无限的延伸系X大于一或者小于1,而且中间1和一,U连上级,我们的定义域是一切实数,那么在这里边要想求值域.

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同学们会发现我们的函数整个的图像是这样一个范围,那么由此我们一段一段的去看一下,你注意我们X大于等于1小于等于1的时候,它的函数的值域应该是在零和一之间是吧,那么记FX等于X平方的值域为0到1,那么而且当我们的X介于两端的时候,取得是常函数一一在这儿也可以取,那么由此我们最终取并集G值域为0到1.

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好,那么通过这样一个图,同学们会发现,我们这个图其实上是解析式的图形表现,从这个图当中能够看到我们的定义域值域是吧,那么这里边就告诉我们,我们的分段函数,你在求它的图像的时候,分段话求定义域的时候分段求干什么,并在一起值域也是去分断球并在一起,这就告诉我们解决分段函数的问题的最常用的也是很有效的方法,就是分段函数的问题,分段解决,后面该合并的合并取并集,那么这里边就告诉我们解决分段函数的问题,你抓住这样一个根本的思想就可以了.

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好,同学们,那么今天我们所研究的问题就是分段函数的基本概念,那么我们也研究了它的图像表示这个问题,我们下节课接着还来研究.

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好,同学们再见.<br />

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